Terrible tyrannie des nombres entiers

21.07.2013 | par Philippe Boulanger | Non classé

Premier exemple : deux enfants veulent se partager trois bonbons. Impossible de les couper en deux (les bonbons). Il n’y a pas de solution, sauf que l’on peut tirer au sort le bonbon restant. Sur un grand nombre de partages chaque enfant aura en moyenne 2,5 bonbons. C’est peut-être la première application du hasard à la résolution des problèmes délicats.

Plus grave est le calendrier. La durée du parcours de la Terre entre deux passages au même point, une année, mesurée en jours, soit une rotation complète de la Terre autour de son axe, vaut 365,242 19 jours (soit environ 365 jours 5 h 48 min 45 s). Or une année doit comporter un nombre entier de jours. Le calendrier julien insérait une journée bissextile tous les 4 ans ce qui correspond à une durée moyenne de 365,25 jours et à un décalage d’environ 8 jours par millénaire. Il fallut changer pour le calendrier grégorien qui introduisait des règles plus complexes et toujours imparfaites.

La transformation des choix individuels (le vote) en décision collective (l’élection d’un député) imposerait que chaque député soit élu par le même nombre de voix. Or dans la plupart des systèmes de vote, les électeurs votent pour un parti, puis les sièges sont attribués aux différents partis proportionnellement au nombre de voix qu'ils ont obtenus. Évidemment cette proportionnalité n’est jamais exacte et, sauf en période révolutionnaire, il faut préserver l’intégrité physique des députés. Plusieurs systèmes de répartition sont possibles dont aucun n’est juste. Et c’est bien dommage car entier vient du latin integer, qui a donné aussi intègre.

Nos amis lecteurs trouveront d’autres exemples des insurmontables difficultés liées à la nécessité des nombres entiers.


3 commentaires pour “Terrible tyrannie des nombres entiers”

  1. janpol Répondre | Permalink

    Je me permets d'intervenir sur ce billet, toujours dans le même ordre d'idée que le précédent : le fondement des nombres complets !
    Un nombre est "complet" s'il peut être projeté sur le segment symplectique élémentaire ]0 1/2 1[ qui est absolument compact, super symétrique et vérifie les axiomes de fermeture de Kuratowski.
    Les nombres complets caractérisent toute structure réelle et tout processus physique.

    Les entiers naturels ne sont pas tyranniques .... mais naturels et la Nature n'est tyrannique QUE pour l'usage artificiel 😉
    Pour répartir 2 bonbons sur 3 enfants, il suffit de transformer les 2 bonbons en 3 parts ! Les 3 parts sont complètes mais ne seront pas de même "taille" que les bonbons initiaux.

    Le problème différe lorsque la taille de la part est imposée. Ainsi en est-il du partage calendaire ou de la répartition des sièges pour lesquels la projection n'est pas possible ! Il faut alors "compléter" le résultat. Comment ? C'est simple :
    théorème universel de complétude : "Toute chose incomplète est complétable par un élément complet convenable qui peut être modifié à gré"
    C'est ce qui se pratique .... depuis la nuit des Temps ! Grégoire et autre chef de parti ont eu et auront toujours recours à ce théorème (principe)

    A titre informationnel : tout nombre complet se partage facilement en d'autres nombres complets dès lors qu'il existe un procédé pratique (construction géométrique, par exemple). Nous pourrions donc avoir un nombre entier de jours complets chaque année .... avec des jours convenablement initiés de taille 2pi sur 365 ! Comment faire sans quadrature du cercle ? 2pi sur 360 me parait plus adapté : on peut couper en 2, 3 fois ; puis en 3, 2fois et enfin en 5 ....

    Bref l'important est de terminer un nombre entier de parts sur le tout selon la correspondance : n jours = 1 année.

    Ce qui nécessite d'asseoir la tyrannie des nombres entiers (purement complets) qui sont les seuls capables de mesurer et de dénombrer, comme tout nombre intelligent devrait pouvoir le faire. Comment construire sans mesurer ou dénombrer?

    La continuité "naturelle" est de loin la meilleure :
    Quel est le suivant de 43 ?
    Quel est le suivant de 3,454 ?

  2. Nicolas Répondre | Permalink

    Je n'ai jamais entendu parler de "nombre complet".
    Quelqu'un pourrait-il me donner des références quant à ce concept ?

  3. janpol Répondre | Permalink

    Oui, moi. La définition et la théorie correspondante sont disponibles à mon adresse mail, en attendant qu'elle soit acceptée à la publication auprès de la SMF (voir aussi à son secrétariat ou auprès des services de l'Académie des sciences, denis Dequaire)

    cordialement

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