Une infinité, mais pas un seul exemple

18.07.2013 | par Philippe Boulanger | Non classé

Que les découvertes des mathématiciens dépassent notre entendement, rien que de très logique : si elles étaient d’appréhension facile, les mathématiciens les auraient trouvées depuis longtemps. Mais que leurs propres créations leur échappent est plus angoissant.

Voyons le cas de l’infortuné Émile Borel (1871-1956).

Un nombre normal est un nombre où tous les chiffres des décimales apparaissent avec la même fréquence. Par exemple, le nombre inventé par le mathématicien Champernowne (1912 - 2000) formé de la succession de tous les nombres 12345678910111213… est normal (par construction). Toutes les statistiques montrent que le nombre pi = 3,1415…. est normal, mais personne ne l’a démontré. Exaspérante incapacité, mais tel n’est pas le sujet de notre réflexion.

Ces nombres sont normaux en base 10 et Borel s’interrogea : « Existe-t-il des nombres normaux dans toutes les bases ? » En bon mathématicien, il établit une preuve irréfutable qu’il existait une infinité de tels nombres, nommés supernormaux. Et là, il aurait voulu se mettre les pieds sur son bureau, allumer un cigare et profiter de sa découverte. Hélas cette béatitude se transforma en frustration : la preuve n’était pas constructive et Borel ne put donner un seul exemple de nombres supernormaux. On n’en connaît toujours pas aujourd’hui.

Découragé par cette impossibilité et l’inanité de ses propres abstractions, Borel abandonna les « hautes mathématiques » pour travailler dans le domaine des probabilité où il eut de nombreux succès concrets.

Ainsi les mathématiciens sont parfois dépassés par la complexité de leur propre création. Le cas de Borel militerait en faveur des mathématiques inventées et non découvertes, puisque n’existe aucun spécimen de nombre supernormal.


2 commentaires pour “Une infinité, mais pas un seul exemple”

  1. Nicolas Répondre | Permalink

    La dernière phrase risque de faire une sacré polémique 🙂
    Mais je n'écris pas pour ça, mais pour signaler que le cas des nombres normaux est encore plus paradoxale.
    En effet, presque tous les nombres réels sont normaux, dans le sens où l'ensemble des nombres non-normaux est de mesure nulle (pour la mesure de Lebesgue).
    Autrement dit, si on "tire au hasard" un nombre réel, sa probabilité d'être normal est de 1 !
    On en connaît bien quelques un aujourd'hui, mais assez peu.

  2. janpol Répondre | Permalink

    Bonjour Philippe, je me joins amicalement à votre billet, car vous touchez un point qui m'est sensible ... et qui rejoins mes interventions sur les billets de Thierry V.
    Mes remarques :
    1- L'infinité n'existe pas ... car elle n'a aucune base pratique. C'est un domaine virtuel. Elle ne présente qu'un intérêt théorique pour décrire des problèmes qu'on crée !
    2- Les nombres réels ... ne le sont que de manière imaginative, puisque, souvent ils ne représentent rien de "concrets" (3,1415.... ne représente rien qu'une partie de quelque chose qui s'appelle pi)

    Nous devons donc différencier les nombres dits "complets" qui ont une face pratique sur laquelle on peut construire une "géométrie" (pi par exemple) ... des nombres "non-complets" qui n'en ont pas et sur lesquels on ne peut rien construire (45,2114.... par exemple). Entre les deux, nous avons les nombres "incomplets" qui peuvent devenir complets en ajoutant un nombre complet ... à une valeur critique près (par exemple 3,1415 .... + 0,0001 permet de contenir le nombre complet pi).
    La réalité physique ne peut qu'utiliser des nombres complets et si la théorie veut s'approcher de cette réalité elle doit n'utiliser QUE des nombres complets ... ce qui est loin d'être le cas des calculs numériques par boucles infinies !)

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