Dessine-moi un trou noir !

08.12.2013 | par Richard Taillet | Regards

Dans de nombreuses présentations de la relativité générale au grand public (et parfois à des étudiants), au moment d'expliquer que la gravitation est due à la courbure de l'espace-temps, on voit très souvent présenté le schéma suivant.

courbure

Il y a des façons très différentes de lire cette image, plus ou moins correctes. Commençons par ce que représente vraiment cette image.

Ce que représente vraiment cette figure

La relativité générale permet de comprendre la gravitation comme une manifestation de la courbure de l'espace-temps, elle-même causée par la présence de corps gravitants. Cette phrase regroupe plusieurs notions compliquées. Celle de courbure est assez délicate à saisir, et celle d'espace-temps à quatre dimensions extrêmement difficile à se représenter mentalement. Il se trouve que lorsqu'on étudie les mouvements confinés dans un plan, comme c'est le cas d'un corps (ou de la lumière) soumis au champ gravitationnel d'une étoile, on peut ne considérer que deux coordonnées spatiales et une coordonnée de temps. Si on veut tracer la trajectoire de ce corps (l'ensemble des positions occupées au fil du temps), on peut se restreindre aux deux dimensions d'espace, c'est-à-dire tracer cette trajectoire sur une surface à deux dimensions : le plan équatorial. Là où ça se complique, c'est que ce « plan » possède une géométrie différente de celle dont on a l'habitude, c'est-à-dire que les distances y obéissent à des règles différentes de celles que l'on apprend à l'école en géométrie plane. Par exemple, la circonférence d'un cercle de rayon R y est différente de 2πR. Lorsqu'on cherche à dessiner une surface sur laquelle les distances obéissent à ces règles bizarres, on obtient des surfaces courbées, que l'on peut parfois visualiser dans un espace tridimensionnel. On dit qu'on a réalisé un plongement. C'est notamment le cas pour le plan équatorial autour d'une masse sphérique et ce plongement est alors appelé un paraboloïde de Flamm. Son équation est donnée par z2=4a(r-a) où r désigne la coordonnée radiale, qu'on mesurerait dans le plan équatorial avec une règle usuelle, et a une distance appelée le rayon de Schwarzschild et proportionnelle à la masse du corps central responsable de la courbure. Cette surface est représentée sur la figure ci-dessous.

paraboloide_flamm3

Activité ludique pour un dimanche pluvieux

On peut s'amuser à construire cette surface à partir de la propriété géométrique suivante : en partant du cercle le plus petit sur la figure (on l'appelle l'horizon) et en s'éloignant d'une petite distance d, on tombe sur un cercle dont la circonférence n'a pas augmenté de 2πd, mais d'une valeur inférieure que la relativité générale permet de calculer. Du coup, pour matérialiser cette surface, il suffit de construire une série de cercles ayant les circonférences prédites par la relativité générale, puis de les relier par des segments ayant la longueur d. On peut le visualiser grâce à une petite activité ludique pour les jours pluvieux, à faire en famille :

  • Dans des feuilles de carton, découpez des disques C1, C2, ..., C6, respectivement de rayon 1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm, 5 cm, 6 cm.
  • Découpez 4 fils F1 de longueur 2,3 cm, 4 fils F2 de longueur 1,3 cm, 4 fils F3 de longueur 1,2 cm, 4 fils F4 de longueur ,1 cm, 4 fils F5 de longueur 1,1 cm.
  • Reliez C1 et C2 par les fils F1, de façon à suspendre C1 sous C2, le deux disques étant horizontaux. Reliez de même C2 à C3 par les fils F2, etc.
  • Comme pour les recettes de cuisine, vous pouvez multiplier toutes les longueurs précédentes par un facteur de votre choix, pourvu que les proportions soient conservées.

Vous obtenez ainsi une construction très similaire à la figure ci-dessus. Cette figure représente notamment la géométrie du plan équatorial autour d'un trou noir.

Ce que ne représentent pas ces figures

Les figures précédentes, que j'appellerai des surfaces cabossées, évoquent clairement un creux, un trou, dans lequel tomberait un objet qu'on poserait sur la surface, si celui-ci était soumis à une gravité verticale. On ajoute parfois à cette figure un corps massif au centre du creux, pour suggérer que la courbure est due à la masse, et un autre objet placé sur la surface, en suggérant que ce dernier va naturellement être attiré vers le premier (voir la première figure). C'est la source d'une extrême confusion ! Le fait que le second objet soit attiré par le premier n'a rien à voir avec tout ce qui précède. C'est une propriété liée à la courbure de l'espace-temps et non à celle de l'espace lui-même (et encore moins à celle du plan équatorial). Les corps qui ne sont soumis à aucune autre force que la gravitation suivent dans l'espace-temps des courbes appelées des géodésiques (techniquement, ce sont des courbes telles que le temps mesuré par un observateur qui la parcourt entre deux points arbitrairement proches sur cette courbe est le plus petit possible ; ce sont aussi les courbes qui ressemblent localement le plus à des lignes droites). En revanche les corps ne suivent pas les géodésiques de l'espace ni, dans l'espace, celles du plan équatorial.

La figure précédente est souvent montrée en suggérant que de façon intuitive, les trajectoires des objets (ou de la lumière) qui passent à proximité du trou vont être défléchies vers l'intérieur. C'est certes ce qui arriverait à une bille qu'on lancerait sur la surface, en présence de pesanteur verticale, en évitant de viser le centre : elle descendrait dans le creux puis remonterait grâce à son élan, dans une direction différente. Ce problème n'est pas du tout équivalent à celui qu'on se pose en relativité générale et comme nous venons de le voir. D'une part la trajectoire de la bille n'a rien à voir avec les géodésiques de la surface cabossée, d'autre part elle n'a rien à voir non plus avec les géodésiques de l'espace-temps entourant une étoile. Au passage, même si les géodésiques de la surface cabossée pouvaient nous indiquer quelque chose sur le mouvement des objets en relativité générale (ce qui n'est pas le cas), il faut noter que ces géodésiques sont les mêmes si on dessine la surface dans l'autre sens, comme une bosse plutôt que comme un creux. Une bille lancée sur une telle surface serait défléchie vers l'extérieur et l'analogie de la bille nous indiquerait alors, de façon erronée, que la gravité est répulsive et non attractive, alors que la surface cabossée serait exactement la même.

Pour conclure, si le décryptage de cette figure extrêmement répandue vous a semblé confus, en écartant ma part de responsabilité dans le fait de n'avoir pas su le dérouler de manière plus claire, il me semble aussi que vouloir expliquer le lien entre attraction gravitationnelle et courbure de l'espace-temps par une unique figure, en se disant qu'un dessin vaudra mieux qu'une explication forcément un peu longue et technique, est illusoire.


9 commentaires pour “Dessine-moi un trou noir !”

  1. patricedusud Répondre | Permalink

    Et sauf votre respect votre billet ne rend pas le concept beaucoup plus clair. 🙂
    Mais je paraphraserai volontiers Boris Cyrulnik qui a l'habitude de dire à la fin de ses interventions "si vous comprenez mieux après mon exposé c'est que je ne suis mal fait comprendre".
    A vrai dire nous sommes au cœur d'un problème majeur du rapport de la démocratie avec la physique moderne qu'il s'agisse de la relativité d'Einstein ou de la mécanique quantique.
    Qui peut vraiment comprendre que les concepts aussi "naturels" que position et vitesse ne soit pas pertinents pour "décrire" les propriétés des particules élémentaires ou encore que la masse des particules soient une sorte de difficulté à se mouvoir dans le mystérieux champs de Higgs associé à une particule que les physiciens ont mis près de 60 ans à dénicher à force de milliards de collisions improbables?
    Les investissements énormes autour du LHC (auxquels les américains ont renoncé alors qu'ils avaient un projet similaire) , l’énorme machine Icecube pour traquer quelques neutrinos parmi des milliards d'entre eux, les 62 kg de Xénon enfermés dans un laboratoire souterrain pour traquer des putatifs WIMPS, toutes ses réalisations de plus en plus couteuses sont bien difficiles à "justifier" du point de vue démocratique autrement que par un principe plus ou moins partagé par le plus grand nombre que la soif de connaissance de l'humanité n'a de limite que les possibilités du cerveau humain de concevoir des modèles de représentation du "réel" de plus en plus "unificatrices" et de plus en plus "explicatives".
    Mais il ne faut pas perdre de vue qu'une théorie n'est vraiment scientifique que si elle peut être "testée" dans les conséquences qu'elle prédit. Ainsi la théorie des multivers qui est parfaitement non "expérimentable", toute séduisante qu'elle puisse être pour l'esprit, n'est pas vraiment une théorie scientifique.
    Et la question incongrue du vulgum pecus "pourquoi dépenser tant d'argent pour des recherches aussi peu explicables?" a bien sûr une réponse et c'est bien cette réponse qu'il convient de "vulgariser" plutôt que de vouloir un peu plus enfermer nos concitoyens dans leur ignorance en tentant l'impossible challenge de donner une représentation sensorielle compréhensible a des concepts qui se meuvent dans des univers très éloignés de celui de nos sens.

    • Richard Taillet Répondre | Permalink

      Bonjour,

      Que le concept ne soit pas plus clair après ce billet, c'est une chose (et c'est un échec), mais si par contre il ressort que la notion de courbure de l'espace-temps n'est pas aussi simple que le laisse penser l'utilisation de cette figure en forme d'entonnoir, c'est déjà ça et je suis quand même content !

      Pour votre dernier paragraphe, je ne suis pas tout à fait d'accord avec le fait que mon billet enferme nos concitoyens dans leur ignorance. Il n'est certes pas ciblé sur un public aussi large que les autres, mais il y a des lecteurs qui sont intéressés et qui auront compris quelque chose en arrivant au bout. L'idée de ce blog c'est aussi, parfois, de toucher ces gens-là ! 😉

      Merci en tout cas pour votre commentaire franc et direct !

      • patricedusud Répondre | Permalink

        Mes excuses mais très franchement mon dernier paragraphe n'était pas une critique de votre tentative d’expliquer (ce qui n'est pas le moindre des mérites de votre billet) qu'un trou noir n'a pas grand chose à voir avec le puits d'un jardin ni avec un entonnoir céleste!
        Au fond le fait même de ne pas clarifier c'est à dire de ne pas caricaturer un concept difficilement accessible à nos sens "naturels" c'est certainement utile de façon paradoxale à notre "compréhension".
        Ma réflexion visait plutôt l'absence totale de discours politique sur le rôle fondamental de la science dans notre société et la pénurie (que vous combattez avec d'autres sur ce blog) de "vulgarisateurs" qui sont essentiels et non rien bien entendu de "vulgaires"!.
        Comme l'écrit Serge Haroche dans sa tribune sur le journal le monde "Pour que les citoyens et leurs représentants participent de façon plus rationnelle et efficace aux choix politiques et sociaux de plus en plus marqués par leur contenu scientifique et technologique - énergie, environnement, santé-, il est nécessaire de leur donner les outils pour comprendre cette démarche scientifique."
        Il y a me semble-t-il un grand malentendu entre la supposée toute puissance de la science, l'hégémonie imaginaire des scientifiques et la démarche et l'objectif même de la science qui ne soucie absolument pas de ses applications possibles, ce qui ne veut pas dire que les scientifiques soient AUSSI des citoyens du monde.
        Bloguement votre
        http://www.lemonde.fr/idees/article/2013/10/17/plus-de-science-pour-plus-de-democratie_3497896_3232.html

  2. david statucki Répondre | Permalink

    Bonjour,

    Sujet intéressant, heureusement que les représentations erronées d'un trou noir se font de plus en plus rare (enfin je l'espère). Voici un lien qui complète peut-être votre propos, destiné aux plus motivés: http://www2.iap.fr/users/riazuelo/bh/sem/iap_2012.pdf,
    en hommage à Monsieur Alain Riazuelo ou encore Jean-Pierre Luminet, des acteurs plongés dans le sujet (si je puis dire lol) depuis de nombreuses années.

    Super l'idée de construction en famille.
    Amicalement

  3. libre cours Répondre | Permalink

    Il faudrait d'abord connaitre le type de trou noir(il y en a 4 mathématiquement),sans compter les TN interstellaires et les micros TN ;pour pouvoir imaginer sa forme géométrique dans l'espace-temps(un fluide dans lequel nous vivons).Les géodésiques elles ,dépendent de la taille et surtout de la densité de la masse courbant cet espace- temps.Le plus simple des TN c'est celui de Schwarzschild(Q=0,J=0),mais tous ces TN ,prédit par la RG ne sont révélés qu'indirectement ,ils existent,aux même titre que les galaxies ,les pulsars et les quasards...mais autant en emporte le vent.

    • Richard Taillet Répondre | Permalink

      Bonjour,

      En effet, pour tracer les géodésiques il faut savoir si le trou noir est chargé ou non, ainsi que s'il est en rotation ou non, mais ceci ne remet rien en cause le message de cet article, sur le fait que la représentation courante d'un quadrillage en forme de puits ne dit pas ce qu'on lui fait trop souvent dire. Et juste pour préciser : non, le fait que le trou noir soit interstellaire, primordial ou supermassif ne change pas la nature de ses géodésiques.

  4. yanko04 Répondre | Permalink

    Un trou noir tord la lumière qui ne peut s'échapper si elle arrive à son horizon ou le franchit.Or les petits trous noirs ayant un petit rayon de courbure que les grands ils tordent plus la lumière. N'est ce pas contradictoire avec le fait que leur masse est moindre et que donc ils devraient moins dévier la lumière ?

  5. bodin Répondre | Permalink

    Bonjour et merci,

    j'ai deux questions à vous soumettre :
    Si j'ai bien compris, a partir de cette représentation de l'espace il serait inutile de calculer par exemple l'avance du périhélie de mercure ?

    Et se dire que comme pour le cône je fait une coupe en travers et j'obtiens une trajectoire elliptique.
    Est ce que faire une coupe en travers du paraboloïde de Flamm serait une erreur de penser qu'on obtient la trajectoire ?

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