La station spatiale internationale et la poubelle-boomerang

Astronaute, certainement un des métiers qui fait le plus rêver : s’échapper de la gravité terrestre (en apparence en tout cas), voir la Terre dérouler ses merveilleux paysages, entourée d’un fin liseret bleuté. Les lecteurs de Marion Montaigne auront en tête quelques aspects moins glamour du métier. Le jour de son arrivée sur la Station Spatiale Internationale, John décida se s’attaquer à un problème rarement évoqué: personne, PERSONNE, n’avait jamais daigné sortir les poubelles. Il entreprit donc de s’en charger, rassembla les emballages qui traînaient dans un gros sac vert, ferma bien le tout avec la petite ficelle idoine (en y arrivant du premier coup, c’est à ce genre de détail qu’on reconnaît l’étoffe des héros), mis sa combinaison sans oublier son casque (c’est aussi à ce détail qu’on les reconnaît) et hop, une extra vehicular activity pour le bien commun. Bon, il ne s’agit pas de balancer ses ordures n'importe comment dans l’espace : après mûre réflexion (l’étoffe des héros, tout ça tout ça) il se dit qu’en projetant le sac vers la Terre, celui-ci allait entièrement se consumer en traversant l’atmosphère et que tout aurait disparu bien avant d’atteindre le sol. C’est parti, John lance le sac en direction de la Terre (à la vitesse de 1 m/s, pour fixer les idées).

Très mauvaise idée.

La dynamique des objets en orbite est subtile et extrêmement contre-intuitive, comme le rappelle de façon très claire Bradley W. Carroll dans « The delicate dance of orbital rendezvous », publié en août 2019 dans la revue American Journal of Physics. On a tendance à penser que du point de vue d’un astronaute en apesanteur, immobile par rapport à l’ISS, elle-même en orbite autour de la Terre, les lois de la mécanique sont celles auxquelles nous sommes habitués sur Terre. Ce n’est pas le cas. Le terme technique qui décrit la différence entre les deux situations, c’est que le référentiel de l’ISS est non galiléen (en toute rigueur, le référentiel terrestre ne l'est pas non plus, du fait notamment de la rotation de la Terre et de son mouvement de révolution autour du Soleil, mais il s’agit là d’effets fins, contrairement à ceux dont il est question ici).

Il y a deux façons d’aborder cette subtilité. Plaçons-nous d’abord du point de vue d’un observateur qui prendrait du recul et qui regarderait l’ISS tourner autour de la Terre sans prendre part à ce mouvement de révolution. Il voit l’ISS suivre une trajectoire que je supposerai ici circulaire, à une vitesse de l’ordre de 7,6 km/s (oui, c’est énorme, c’est essentiellement pour cela que c’est coûteux en carburant de mettre un corps en orbite). Il voit John suivre la même trajectoire à la même vitesse et il voit le sac acquérir un trèèès léger surplus de vitesse, dans la direction orthogonale au mouvement orbital. Le sac suit alors une nouvelle trajectoire, elliptique, qui ne l’éloigne que très peu de l’ISS.

Ensuite, pour décrire le mouvement du sac du point de vue de l’ISS, les lois usuelles de la mécanique (en particulier la loi de Newton, selon laquelle la somme des forces est égale à la masse du corps étudié multipliée par son accélération) ne sont a priori pas valides mais les physiciens proposent tout un arsenal permettant de les modifier légèrement pour qu’elles le deviennent : il faut supposer que le corps étudié est soumis à quelques autres forces, appelées forces d’inertie : la force d’entraînement, la force centrifuge et la force de Coriolis. Ce sont ces forces qui rendent très peu intuitive la façon dont les corps se meuvent en orbite.

Par exemple, abandonnons quelques instants notre sac poubelle (ne vous inquiétez pas, il va finir par revenir tout seul !) et considérons deux corps sur la même orbite, une cible C et un module M, le second étant en retard sur le premier. S’ils sont sur la même orbite, la distance qui les sépare est constante. Si le module veut rattraper la cible, pour s’y amarrer, son pilote pourrait avoir l’idée d’accélérer en direction de C, en allumant brièvement ses moteurs. S’il le fait, il abandonne son orbite initiale pour se placer sur une orbite elliptique plus haute. D’après la loi des aires, formulée par Johannes Kepler en 1609 puis démontrée par Isaac Newton en 1687, sa vitesse angulaire diminue au fur et à mesure que son altitude augmente, et le module augmente son retard sur sa proie. Il faudra que dans un second temps, il freine (en dirigeant la poussée des moteurs vers l'avant, dans une direction calculée avec soin) pour rattraper la cible. Difficile à réaliser sans calculateur !

Ceci permet de comprendre les difficultés rencontrées lors des premiers rendez-vous orbitaux, comme celui de James McDivitt en 1965, relaté dans ce rapport de la NASA. On y lit (ma traduction) :

McDivitt orienta la module, en visant la cible, et actionna les propulseurs. Après deux coups de propulseurs, la cible semblait s’éloigner et se décaler vers le bas. Quelques minutes plus tard, McDivitt réorienta le nez du module vers le bas et l’équipage put de nouveau voir la cible, qui semblait se déplacer sur une trajectoire différente. Il accéléra dans cette direction - sans succès - puis arrêta. McDivitt répéta cette séquence plusieurs fois, avec aussi peu de chance.

La thèse de doctorat de Buzz Aldrin portait précisément sur ce sujet, intitulée « Line-of-sight guidance techniques for manned orbital rendezvous », on pourra la consulter ici. (comparer la figure de la page 45, numérotation du manuscrit, à ce qui suit).

Dans  « The delicate dance of orbital rendezvous », Carroll présente les trajectoires que l’on peut calculer (niveau licence de physique) au voisinage de l’ISS, dans l’approximation où le corps ne s’éloigne pas trop de l’ISS (on peut linéariser le problème). La question avait aussi été traitée en 2001 par Eugene I. Butikov dans « Relative motion of orbiting bodies », dans la même revue. L’auteur y montre les trajectoires relatives à l’ISS pour un corps lancé vers le bas (figure de gauche, une ellipse), ou vers l’avant (figure de droite, une cycloïde)

Revenons sur la figure de gauche, qui correspond à la trajectoire de notre sac poubelle, dans le référentiel de l’ISS. Le sac décrit en une période orbitale une ellipse dont on peut montrer qu'elle est deux fois plus longue que large. Si le sac est lancé vers le bas à la vitesse de 1 m/s, le grand axe de l’ellipse a une longueur d’environ 3,2 km. Du point de vue de l’astronaute, le sac poubelle commence par descendre, puis prend de la vitesse vers l’avant, jusqu’à un point situé à 3,2 km en avant de l’ISS, puis il semble ralentir pour revenir à son point de départ, au bout de 93 minutes, la période orbitale de l’ISS.

Cette même trajectoire, examinée dans le référentiel géocentrique (du point de vue de notre premier observateur de tout à l'heure) est représentée sur la figure suivante.

Le sac décrit une ellipse de faible ellipticité qui se trouve être très similaire à un cercle décentré, ce qui au passage explique en partie le succès des théories ptoléméenne et copernicienne du mouvement des planètes). La loi des aires indique que le sac avance plus rapidement sur son orbite lorsqu’il est plus près de la Terre (partie de gauche de la trajectoire), il prend donc de l’avance, comme on le voit aussi sur le volet de gauche de la figure précédente.

Il y a une justice cosmique : balancez vos ordures et elles vous reviennent à la figure !