De l’élégance à l’autotélisme

22.08.2022 | par this | Non classé

Il existe une fonction nommée gaussienne, qui est l'équation d'une courbe en cloche. Et, dans les calculs, on a souvent besoin de calculer l'aire de la surface comprise entre cette fonction et l'axe des abscisses.

Pour calculer cela, il y a des méthodes classiques d'"intégration" :
- se demander si c'est une fonction connue ou voisine d'une telle fonction,
- effectuer un "changement de variable",
- intégrer par partie,
- et cetera.

Je n'explique pas ces différentes méthodes et je renvoie vers le livre Calcul différentiel et intégral de Nicolas Piskounov aux éditions Mir, à Moscou.
Mais je veux surtout signaler qu'aucune de ces méthodes ne fonctionne pour la gaussienne, et celui ou celle qui essaie d'intégrer cette fonction bute à chaque tentative.

Pourtant, le mathématicien suisse Léonard Euler (1707-1776) à résolu le problème, et cela d'une façon très "élégante".

 

Cette élégance, qui n'est pas celle d'une robe ou d'un costume ; c'est une élégance intellectuelle

 

Comment s'y est-il pris ? Il a observé, dans l'équation de la fonction, une variable au carré, et il a fait le rapprochement avec l'équation d'un cercle, ce qui l'a conduit à utiliser les propriétés de l'exponentielle pour comprendre qu'il pouvait calculer le volume d'une gaussienne à trois dimensions, dans ce que l'on nomme les coordonnées polaires.
Il n'a pas calculé non pas directement l'intégrale visée, mais le carré de cette dernière, et il a pris ensuite la racine carrée du résultat qu'il avait trouvé.

C'est quand même incroyable d'avoir imaginé un tel détour !
Et c'est pour cette raison que je reste très ébloui par ce calcul et que j'aime bien le montrer à des amis qui ne connaissent pas.

D'ailleurs, il faut signaler que, quand on cherche à résoudre l'équation qui exprime la diffusion moléculaire, ou les transferts de chaleur, il y a un "changement de variable" classique, tout à fait analogue, qui a été trouvé par ce génie que fut Ludwig Boltzmann (1844-1906).

Oui, il y a eu beaucoup d'intelligence et de travail derrière ces résultats qui nous servent aujourd'hui.
Et il faut insister pour dire qu'il ne s'agissait pas alors d'obtenir quelque chose d'utile, mais seulement d'être capable de faire ce calcul, de comprendre, d'explorer.

Euler, notamment, fonctionnait avec son impulsion personnelle qui était celle des mathématiques, et il n'avait pas besoin de penser à des "intérêts extrinsèques" pour fonctionner, pour calculer, pour vivre.

Là, je m'arrête pour expliquer que je propose à mes amis qui cherchent leur voie de considérer que, dans toute activité, il y a des intérêts intrinsèques, extrinsèques et concomitants. L'intérêt intrinsèque, c'est celui que l'on trouve soi-même dans l'activité que l'on fait, et qui dépend donc de chacun, pour chaque activité.
L'intérêt extrinsèque, c'est ce que l'on gagne en quelque sorte (un salaire, disons).
Et l'intérêt concomitant, c'est la reconnaissance sociale, par exemple ; cela accompagne l'activité sans en être une rétribution directe, financière.

Il est très intéressant de voir que pour nombre de ces personnes que l'on nomme des prodiges ou des génies, il y a en réalité simplement l'inlassable travail, l'inévitable travail en quelque sorte qui les constitue. Euler vivait pour le calcul, tout comme Carl Friedrich Gauss, par exemple.
En chimie, il y a eu des Berthollet, des Vauquelin, des Fischer, etc.
En physique, il y a eu des Einstein, des Galilée, des Dirac...
En musique, il y a eu les Mozart, mais aussi des Paul Tortelier, des Ivry Giltis, des Martha Argerich...
En peinture, il y a eu des Hokusai.
En littérature, il y a eu des Flaubert.

Et ainsi de suite : il y a des personnes qui ne se lassent jamais de leur activité, qui ne se posent en réalité peut-être même pas la question de cela, et comme ils vivent de leur activité, le temps qu'ils y passent est bien supérieur à celui que d'autres y consacreraient... et cela conduit à des résultats que les autres n'obtiendraient pas. Cela se nomme l'autotélisme.

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